DERIVABILITA' DI UNA FUNZIONE IN UN INTERVALLO (a,b).

Al fine di definire la derivibilità di una funzione in un intervallo, personalmente mi sono sempre chiesto perchè non esista un Teorema del genere che ora enuncerò, del quale peraltro non so fare una dimostrazione generale, ma il quale mi ispira da sempre molta certezza per la sua facile intuibilità e per la sua coerente interpretazione geometrica. Come mai i testi ufficiali non se ne curano? Lo enuncerò dunque a modo mio:

"Data una funzione y = f(x), se la sua derivata f '(x) è una funzione continua (nel senso che non compie nè "Salti", nè abbia Punti di infinito, cioè qualora non soffra di discontinuità nè di prima specie nè di seconda specie), allora la funzione y = f(x), di cui essa è derivata, è una funzione derivabile."

Infatti se f '(x) avesse un Salto, ciò rivelerebbe per la y = f(x) un Punto angoloso (quindi di non derivabilità).

Se invece la f '(x) fosse infinita, ciò rivelerebbe per la y = f(x), in assenza di asintoti verticali che peraltro sarebbero già noti, un Flesso a tangente verticale o una Cuspide (quindi ancora punti di non derivabilità).

Detto così, sarà sufficiente studiare la continuità della f '(x), partendo dal suo Campo di esistenza, per conoscere la derivabilità della y = f(x).

Cosa c'è che non va? Le mie semplici osservazioni possono essere già intese come una dimostrazione? E se non è così, quali confutazioni vi possono essere contro quanto io affermo.

Perchè questo enunciato non è presente tra i teoremi classici sulla derivabilità?

Perchè non lo insegnamo ai nostri studenti?

Grazie a chi ha voglia di rispondere, Sergio Bedeschi, Roma 12 agosto 2014